Demostracions del Teorema de Ptàgores

Aquesta entrada es centrarà en diverses demostracions del Teorema de Pitàgores.

Demostració algebraica

\(a^2 = b^2 + c^2\)

El quadrat gran te com a costat \(b+c\), aleshores, la seua area és:		\( Q = (b+c)(b+c) \)
El quadrat menut (groc) té com a costat \(a\), aleshores la seua area és:		\( a^2 \)
Cada triangle té una area de:		\(\frac{b·c}{2} \)
La suma de les arees dels 4 triangles és:		\(\frac{4·b·c}{2} = 2bc \)
Per tant, l'area del quadrat gran és la suma dels 4 triangles i el quadrat menut.		\(Q = a^2 + 2bc\)

Les dos equacions son équivalents, per tant, les podem igualar i simplificar l'expresió:

Comencem amb:		\( (b+c)(b+c) = a^2 + 2bc\)
Expandim \( (b+c)(b+c) \):		\( b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + 2bc\)
Restem \(2bc\) dels dos costats:		\( b^2 + c^2 = a^2\)

D'aquesta manera arribem a l'expresió que defineix el Teorema de Pitàgores:

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Demostracions geomètriques

Aquestes demostracions es basen les arees dels quadrats que formen els costats d'un triangle rectangle:

Història de Pitàgores (II)

Nombres irracionals:

Els pitagòrics consideraven que qualsevol fenomen de l’univers es podia explicar mitjançant els nombres enters i els seus quocients.

Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions.

Però, com a conseqüència del Teorema de pitàgores, van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat. Així, van descobrir que existien uns altres nombres que no es podien posar en forma de fracció, i els van  anomenats els “incommensurables” o “irracionals”.

La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Curiosament, el pentagrama o estrella de cinc puntes que era el símbol dels pitagòrics conté el nombre auri, un nombre irracional.

Els segments acolorits del pentagrama tenen proporcions àuries

Història de Pitàgores (I)

La Vida de Pitàgores:

Pitàgores  va néixer aproximadament l’any 580 aC. a l’illa de Samos (Grècia)

A la seva joventut va ser deixeble de Tales de Milet i posteriorment va viatjar a Egipte i després a Babilònia. En tots dos països va estudiar astronomia, geometria, aritmètica i música, es va interessar per les religions i es va relacionar amb els seus mags i sacerdots. A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat. A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat.

A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat.

Pitàgoras i els seus deixebles aconsellaven l'obediència i el silenci, la abstinència de consumir aliments i la senzillesa en el vestir i les possessions. Creien també en la immortalitat i la transmigració de l’ànima, i la idea de que el cos és una presó de l’ànima.

Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta.

La seva escola estava oberta a homes i dones indistintament, i la conducta discriminatòria estava prohibida. Els seus estudiants pertanyien a totes les ètnies, religions i estrats econòmics i socials.

Teorema de Pitàgores

Un triangle recltangle és aquell que té un angle recte. Els costats que formen l'angle recte s'anomenen catets, i el costat més llarg, hipotenusa.

Teorema de Pitàgores:
En un trigangle rectangle es compleix que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Gràcies a aquest teorema podem comprovar si un triangle es rectangle donat els costats.

Exemple:

17 cm, 15 cm i 8 cm		16 cm, 14 cm i 6 cm
\( 17^2 = 15^2 + 8^2 \rightarrow 289 = 225 + 64 \rightarrow 289 = 289\)		\(16^2 = 14^2 + 6^2 \rightarrow 256 = 196 + 36 \rightarrow\) \(256 \neq 232\)
És un triangle rectangle.		NO és un triangle rectangle.

Aquest teorema també ens permet determinar el costat desconegut de un triangle rectangle.
Els pasos a seguir son:

• Identificar les dades conegudes i el costat que cal calcular.
• Substituïr les dades del problema a l'equació del Teorema de Pitàgores, on a és la hipotenusa i b i c són  els catets.
• Aïllar la incògnita per calcular el valor.

Exemple:

El costat que falta és la hipotenusa		El costat que falta és un dels catets
\(x^2 = 5^2 + 12^2\) \(x^2 = 169\) \(x = \sqrt{169} = 13\)		\(15^2 = 9^2 + x^2\) \(x^2 = 15^2 - 9^2\) \(x^2 = 144\) \(x = \sqrt{144} = 12\)

Rectes i punts notables en el triangle

Mitjanes i baricentre

Les mitjanes d'un triangle són les rectes que s'obtenen en unir cada un dels vèrtexs amb el punt mitjà del costat oposat.

Les mitjanes d'un triangle es tallen en un punt anomenat baricentre.

Mediatrius i circumcentre

Les mediatrius d'un triangle són les rectes perpendiculars als costats que passen per els punts mitjans dels segments.

Les mediatrius d'un triangle es tallen en un punt anomenat circumcentre, que situat a la mateixa distància dels 3 vèrtexs, es el centre d'una circunferència que passa pels 3 vertèxs. anomenada circunferència circumscrita.

Altures i ortocentre.

Les altures d'un triangle són les rectes perpendiculars als costats (o prolongació d'aquests) traçades des del vèrtex oposat.

Les 3 altures d'un triangle es tallen en un punt que s'anomena ortocentre.

Bisectrius i incentre.

Les bisectrius d'un triangle són les rectes que divideixen cada un dels angles en dues parts iguals.

Les bisectrius es tallen en un punt anomenat incentre, que situat a la mateixa distància dels 3 costats, és el centre d'una circunferència tangent als 3 costats del triangle. Aquesta circunferència s'anomena circunferència inscrita.

Angles en els polígons

Tenint en compte els angles interiors d'un polígon, el podem classificar en dos categories:

• Polígon convex: Tots els angles són menors de 180º.
• Polígon còncau: Algun dels angles es major de 180º.

Convex		Còncau

Suma dels angles d'un polígon

La triangularitazió d'un polígon consisteix ea dividir-lo en triangles utilitzant les diagonals.

Per triangular un polígon tracem totes les diagonals possibles des d'un dels vèrtexs.

Tot polígon convex de n costats es pot dividir en \(n - 2\) triangles.

La suma total dels angles d'un polígon serà igual  a la suma dels angles de tots els triangles en què es pot triangular.

Per tant, la suma dels angles d'un polígon de n costats és: \(180º · (n - 2)\).

Exemple:
El polígon de la imatge anterior és un heptàgon, és a dir, té 7 costats.
Triangulant el polígon tenim \( 7 - 2 = 5\) triangles.
La suma dels angles del polígon serà igual a la suma dels angles dels triangles que s'han format.

\(180º · (n - 2) = 180º · 5 = 900º\)

La suma dels angles d'un heptàgon és 900º.

Relacions entre els elements d'un triangle

Aquestes relacions són molt importants per la resolució de problemes de geometria plana, ja que gràcies a elles, és possible determinar mesures desconegudes d'angles i costats.

Relacions entre els costats d'un triangle

Donat un triangle ABC, sempre es compleix que:

• Qualsevol costat és menor que la suma dels altres dos.

\( a < b + c\)

\( b < a + c\)

\( c < a + b\)




• Qualsevol costat és major que la diferència dels altres dos.

\( a > b - c\)

\( b > a - c\)

\( c > a - b\)

Exemple:
Comprova si els següents segments formen un triangle:

• \(a = 2\)  cm,  \(b = 3\) cm,  \(c = 4\) cm:

\( 2 < 3 + 4\)

\( 3 < 2 + 4\)

\( 4 < 2 + 3\)



Aquests tres segments si que poden formar un triangle.


• \(a = 1\)  cm,  \(b = 2\) cm,  \(c = 3\) cm:

\( 1 < 2 + 3\)

\( 2 < 1 + 3\)

\( 3 < 1 + 2\)



Aquests tres segments NO poden formar un triangle.

Relacions entre els angles d'un triangle

La suma dels tres angles d'un triangle sempre és 180º.

Si tracem una recta paral·lela al costat c que passe pel vèrtex oposat C, es formen dos angles equivalents a A i B. Com que la suma dels angles és un angle plà, \(A + B + C = 180º\).

Triangles

Un triangle és un polígon de tres costats, que té també tres angles i tres vèrtexs.

Els elements que componen un triangle són:

• Vèrtex: Punts on s'uneixen dos costats. Es designen amb lletres majúscules: A, B, C.
• Costats: Segments que delimiten el triangle. Es designen amb les mateixes lletres que els vèrtexs, però en minúscules: a, b, c, de tal manera que queden oposats.
• Angles interiors: Angles formats pels costats del polígon. S'anomenen amb la mateixa lletra que el vèrtex però amb el símbol ^: Â, B̂, Ĉ.

Classificació:

Segons els costats del triangle es poden classificar en:

• Triangle equilàter: Tots els costats i angles són iguals.
• Triangle isòsceles: Té dos costats i angles iguals
• Triangle escalé: Té els tres costats i angles diferents.

Equilàter		Isòsceles		Escalé

Segons els angles que componen el triangle, es pot classificar en les següents categories:

• Triangle acutangle: Tots els angles són aguts.
• Triangle rectangle: Té un angle recte.
• Triangle obtusangle: Té un angle obtús.

Acutangle		Rectangle		Obtusangle

Polígons

Un polígon és una figura plana delimitada per un nombre finit de segments.

Els elements que componen un polígon són:

• Costats: Segments que delimiten el polígon.
• Vèrtex: Punts on s'uneixen dos costats.
• Angles interiors: Angles formats pels costats del polígon.
• Diagonals: Segments que uneixen dos vèrtexs no consecutius. 

Classificació:

Segons contorn dels polígons, els podem classificar en diverses categories:

• Polígon regular: Tots els angles i costats són iguals.
• Polígon irregular: Algun angle o costat és diferent.

Regular		Irregular

• Polígon convex: Tots els angles són menors de 180º. Un polígon regular sempre serà convex.
• Polígon còncau: Algun dels angles es major de 180º. Un polígon còncau sempre serà irregular.

Convex		Còncau

Els polígons també es poden classificar segons el nombre de costats:

Nre. de costats	Nom	Polígon regular
3	Triangle
4	Quadrilàter
5	Pentàgon
6	Hexàgon
7	Heptàgon
8	Octògon
9	Enneàgon
10	Decàgon
11	Hendecàgon
12	Dodecàgon

Coneixements previs

Per estudiar l'unitat de Polígons són necessaris coneiximents previs sobre rectes i angles, que repassarem a continuació.

Una recta, és un objecte geomètric format per un conjunt d'infinits punts, infinitament llarg i infinitament prim, que no té curvatura. També es diu que els punts d'una recta estan alineats.

Quant a la posició relativa entra dues rectes, podem trobar:

• Rectes secants: Dues rectes que es tallen en algun punt del plà.
• Rectes paral·leles: No es tallen en cap punt del plà.

Secants		Paral·leles

Anomenem angle l'obertura formada per dues semirectes que parteixen d'un mateix punt. 

Depenent de l'obertura els angles poden ser:

• Aguts: Mesuren menys de 90º.
• Rectangles: Mesuren 90º.
• Obtusos: Mesuren més de 90º.
• Plans: Mesuren 180º.

Agut		Rectangle		Obtús		Plà

Per últim, repassar el concepte d'arrel quadrada:

L'arrel quadrada d'un nombre és un altre nombre que elevat al quadrat és igual al primer:

\(\sqrt{a} = b \rightarrow b^2 = a\)

Exemple:

\(\sqrt{4} = 2 \rightarrow 2^2 = 4\)

\(\sqrt{25} = 5 \rightarrow 5^2 = 25\)