Demostracions del Teorema de Ptàgores

Aquesta entrada es centrarà en diverses demostracions del Teorema de Pitàgores.

Demostració algebraica

\(a^2 = b^2 + c^2\)

El quadrat gran te com a costat \(b+c\), aleshores, la seua area és:		\( Q = (b+c)(b+c) \)
El quadrat menut (groc) té com a costat \(a\), aleshores la seua area és:		\( a^2 \)
Cada triangle té una area de:		\(\frac{b·c}{2} \)
La suma de les arees dels 4 triangles és:		\(\frac{4·b·c}{2} = 2bc \)
Per tant, l'area del quadrat gran és la suma dels 4 triangles i el quadrat menut.		\(Q = a^2 + 2bc\)

Les dos equacions son équivalents, per tant, les podem igualar i simplificar l'expresió:

Comencem amb:		\( (b+c)(b+c) = a^2 + 2bc\)
Expandim \( (b+c)(b+c) \):		\( b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + 2bc\)
Restem \(2bc\) dels dos costats:		\( b^2 + c^2 = a^2\)

D'aquesta manera arribem a l'expresió que defineix el Teorema de Pitàgores:

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Demostracions geomètriques

Aquestes demostracions es basen les arees dels quadrats que formen els costats d'un triangle rectangle:

Història de Pitàgores (II)

Nombres irracionals:

Els pitagòrics consideraven que qualsevol fenomen de l’univers es podia explicar mitjançant els nombres enters i els seus quocients.

Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions.

Però, com a conseqüència del Teorema de pitàgores, van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat. Així, van descobrir que existien uns altres nombres que no es podien posar en forma de fracció, i els van  anomenats els “incommensurables” o “irracionals”.

La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Curiosament, el pentagrama o estrella de cinc puntes que era el símbol dels pitagòrics conté el nombre auri, un nombre irracional.

Els segments acolorits del pentagrama tenen proporcions àuries

Història de Pitàgores (I)

La Vida de Pitàgores:

Pitàgores  va néixer aproximadament l’any 580 aC. a l’illa de Samos (Grècia)

A la seva joventut va ser deixeble de Tales de Milet i posteriorment va viatjar a Egipte i després a Babilònia. En tots dos països va estudiar astronomia, geometria, aritmètica i música, es va interessar per les religions i es va relacionar amb els seus mags i sacerdots. A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat. A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat.

A la tornada de Babilònia va viatjar per Grècia i finalment, es va establir a Crotona, al sud d'Itàlia, on va fundar la seua  escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques ,amb regles molt estrictes de conducta i notablement activa en els afers polítics de la ciutat.

Pitàgoras i els seus deixebles aconsellaven l'obediència i el silenci, la abstinència de consumir aliments i la senzillesa en el vestir i les possessions. Creien també en la immortalitat i la transmigració de l’ànima, i la idea de que el cos és una presó de l’ànima.

Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta.

La seva escola estava oberta a homes i dones indistintament, i la conducta discriminatòria estava prohibida. Els seus estudiants pertanyien a totes les ètnies, religions i estrats econòmics i socials.

Teorema de Pitàgores

Un triangle recltangle és aquell que té un angle recte. Els costats que formen l'angle recte s'anomenen catets, i el costat més llarg, hipotenusa.

Teorema de Pitàgores:
En un trigangle rectangle es compleix que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Gràcies a aquest teorema podem comprovar si un triangle es rectangle donat els costats.

Exemple:

17 cm, 15 cm i 8 cm		16 cm, 14 cm i 6 cm
\( 17^2 = 15^2 + 8^2 \rightarrow 289 = 225 + 64 \rightarrow 289 = 289\)		\(16^2 = 14^2 + 6^2 \rightarrow 256 = 196 + 36 \rightarrow\) \(256 \neq 232\)
És un triangle rectangle.		NO és un triangle rectangle.

Aquest teorema també ens permet determinar el costat desconegut de un triangle rectangle.
Els pasos a seguir son:

• Identificar les dades conegudes i el costat que cal calcular.
• Substituïr les dades del problema a l'equació del Teorema de Pitàgores, on a és la hipotenusa i b i c són  els catets.
• Aïllar la incògnita per calcular el valor.

Exemple:

El costat que falta és la hipotenusa		El costat que falta és un dels catets
\(x^2 = 5^2 + 12^2\) \(x^2 = 169\) \(x = \sqrt{169} = 13\)		\(15^2 = 9^2 + x^2\) \(x^2 = 15^2 - 9^2\) \(x^2 = 144\) \(x = \sqrt{144} = 12\)

Rectes i punts notables en el triangle

Mitjanes i baricentre

Les mitjanes d'un triangle són les rectes que s'obtenen en unir cada un dels vèrtexs amb el punt mitjà del costat oposat.

Les mitjanes d'un triangle es tallen en un punt anomenat baricentre.

Mediatrius i circumcentre

Les mediatrius d'un triangle són les rectes perpendiculars als costats que passen per els punts mitjans dels segments.

Les mediatrius d'un triangle es tallen en un punt anomenat circumcentre, que situat a la mateixa distància dels 3 vèrtexs, es el centre d'una circunferència que passa pels 3 vertèxs. anomenada circunferència circumscrita.

Altures i ortocentre.

Les altures d'un triangle són les rectes perpendiculars als costats (o prolongació d'aquests) traçades des del vèrtex oposat.

Les 3 altures d'un triangle es tallen en un punt que s'anomena ortocentre.

Bisectrius i incentre.

Les bisectrius d'un triangle són les rectes que divideixen cada un dels angles en dues parts iguals.

Les bisectrius es tallen en un punt anomenat incentre, que situat a la mateixa distància dels 3 costats, és el centre d'una circunferència tangent als 3 costats del triangle. Aquesta circunferència s'anomena circunferència inscrita.