Angles en els polígons

Tenint en compte els angles interiors d'un polígon, el podem classificar en dos categories:

• Polígon convex: Tots els angles són menors de 180º.
• Polígon còncau: Algun dels angles es major de 180º.

Convex		Còncau

Suma dels angles d'un polígon

La triangularitazió d'un polígon consisteix ea dividir-lo en triangles utilitzant les diagonals.

Per triangular un polígon tracem totes les diagonals possibles des d'un dels vèrtexs.

Tot polígon convex de n costats es pot dividir en \(n - 2\) triangles.

La suma total dels angles d'un polígon serà igual  a la suma dels angles de tots els triangles en què es pot triangular.

Per tant, la suma dels angles d'un polígon de n costats és: \(180º · (n - 2)\).

Exemple:
El polígon de la imatge anterior és un heptàgon, és a dir, té 7 costats.
Triangulant el polígon tenim \( 7 - 2 = 5\) triangles.
La suma dels angles del polígon serà igual a la suma dels angles dels triangles que s'han format.

\(180º · (n - 2) = 180º · 5 = 900º\)

La suma dels angles d'un heptàgon és 900º.

Relacions entre els elements d'un triangle

Aquestes relacions són molt importants per la resolució de problemes de geometria plana, ja que gràcies a elles, és possible determinar mesures desconegudes d'angles i costats.

Relacions entre els costats d'un triangle

Donat un triangle ABC, sempre es compleix que:

• Qualsevol costat és menor que la suma dels altres dos.

\( a < b + c\)

\( b < a + c\)

\( c < a + b\)




• Qualsevol costat és major que la diferència dels altres dos.

\( a > b - c\)

\( b > a - c\)

\( c > a - b\)

Exemple:
Comprova si els següents segments formen un triangle:

• \(a = 2\)  cm,  \(b = 3\) cm,  \(c = 4\) cm:

\( 2 < 3 + 4\)

\( 3 < 2 + 4\)

\( 4 < 2 + 3\)



Aquests tres segments si que poden formar un triangle.


• \(a = 1\)  cm,  \(b = 2\) cm,  \(c = 3\) cm:

\( 1 < 2 + 3\)

\( 2 < 1 + 3\)

\( 3 < 1 + 2\)



Aquests tres segments NO poden formar un triangle.

Relacions entre els angles d'un triangle

La suma dels tres angles d'un triangle sempre és 180º.

Si tracem una recta paral·lela al costat c que passe pel vèrtex oposat C, es formen dos angles equivalents a A i B. Com que la suma dels angles és un angle plà, \(A + B + C = 180º\).

Triangles

Un triangle és un polígon de tres costats, que té també tres angles i tres vèrtexs.

Els elements que componen un triangle són:

• Vèrtex: Punts on s'uneixen dos costats. Es designen amb lletres majúscules: A, B, C.
• Costats: Segments que delimiten el triangle. Es designen amb les mateixes lletres que els vèrtexs, però en minúscules: a, b, c, de tal manera que queden oposats.
• Angles interiors: Angles formats pels costats del polígon. S'anomenen amb la mateixa lletra que el vèrtex però amb el símbol ^: Â, B̂, Ĉ.

Classificació:

Segons els costats del triangle es poden classificar en:

• Triangle equilàter: Tots els costats i angles són iguals.
• Triangle isòsceles: Té dos costats i angles iguals
• Triangle escalé: Té els tres costats i angles diferents.

Equilàter		Isòsceles		Escalé

Segons els angles que componen el triangle, es pot classificar en les següents categories:

• Triangle acutangle: Tots els angles són aguts.
• Triangle rectangle: Té un angle recte.
• Triangle obtusangle: Té un angle obtús.

Acutangle		Rectangle		Obtusangle

Polígons

Un polígon és una figura plana delimitada per un nombre finit de segments.

Els elements que componen un polígon són:

• Costats: Segments que delimiten el polígon.
• Vèrtex: Punts on s'uneixen dos costats.
• Angles interiors: Angles formats pels costats del polígon.
• Diagonals: Segments que uneixen dos vèrtexs no consecutius. 

Classificació:

Segons contorn dels polígons, els podem classificar en diverses categories:

• Polígon regular: Tots els angles i costats són iguals.
• Polígon irregular: Algun angle o costat és diferent.

Regular		Irregular

• Polígon convex: Tots els angles són menors de 180º. Un polígon regular sempre serà convex.
• Polígon còncau: Algun dels angles es major de 180º. Un polígon còncau sempre serà irregular.

Convex		Còncau

Els polígons també es poden classificar segons el nombre de costats:

Nre. de costats	Nom	Polígon regular
3	Triangle
4	Quadrilàter
5	Pentàgon
6	Hexàgon
7	Heptàgon
8	Octògon
9	Enneàgon
10	Decàgon
11	Hendecàgon
12	Dodecàgon

Coneixements previs

Per estudiar l'unitat de Polígons són necessaris coneiximents previs sobre rectes i angles, que repassarem a continuació.

Una recta, és un objecte geomètric format per un conjunt d'infinits punts, infinitament llarg i infinitament prim, que no té curvatura. També es diu que els punts d'una recta estan alineats.

Quant a la posició relativa entra dues rectes, podem trobar:

• Rectes secants: Dues rectes que es tallen en algun punt del plà.
• Rectes paral·leles: No es tallen en cap punt del plà.

Secants		Paral·leles

Anomenem angle l'obertura formada per dues semirectes que parteixen d'un mateix punt. 

Depenent de l'obertura els angles poden ser:

• Aguts: Mesuren menys de 90º.
• Rectangles: Mesuren 90º.
• Obtusos: Mesuren més de 90º.
• Plans: Mesuren 180º.

Agut		Rectangle		Obtús		Plà

Per últim, repassar el concepte d'arrel quadrada:

L'arrel quadrada d'un nombre és un altre nombre que elevat al quadrat és igual al primer:

\(\sqrt{a} = b \rightarrow b^2 = a\)

Exemple:

\(\sqrt{4} = 2 \rightarrow 2^2 = 4\)

\(\sqrt{25} = 5 \rightarrow 5^2 = 25\)